Lịch sử thú vị và giới hạn toán học của sơ đồ Venn

Anh em xưa học toán, chắc ít nhiều cũng đã từng nghe qua về biểu đồ Venn, nay đọc một bài khá hay trên Scientific American nên viết lại chia sẻ với anh em.

Venn diagram là gì và nguồn gốc của sơ đồ Venn

Venn diagram – hay sơ đồ Venn – là một cách trực quan để thể hiện mối quan hệ giữa các nhóm đối tượng. Mỗi hình tròn trong sơ đồ biểu thị một tập hợp, và các vùng giao nhau cho thấy những phần tử nằm trong nhiều tập cùng lúc. Dù đơn giản, cách trình bày này lại giúp người xem dễ dàng hình dung và phân tích các mối liên hệ phức tạp, từ việc phân loại loài vật đến giải các bài toán logic đời thường. Sơ đồ Venn không chỉ dùng trong toán học mà còn phổ biến trong các lĩnh vực như khoa học máy tính, thống kê, ngôn ngữ học và cả trong đời sống, giúp minh họa các mối quan hệ chồng lấn giữa các nhóm khác nhau.



Venn Diagram được dùng để biểu thị mối quan hệ giữa các tập hợp

Người đã đưa Venn diagram đến với thế giới là nhà toán học người Anh John Venn, khi ông giới thiệu chúng lần đầu vào năm 1880 như một công cụ để hình dung những tiến bộ trong lĩnh vực logic. Dù sơ đồ này không nhằm giải quyết những bài toán toán học lớn, nó lại trở thành công cụ phổ biến trong giáo dục và biểu đồ thông tin. William Dunham, trong cuốn The Mathematical Universe, từng nhận xét rằng John Venn có lẽ là người nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học vì một đóng góp nhỏ nhất.

Thực ra, Venn đã phát triển sơ đồ này dựa trên nền tảng của các nhà logic học trước đó như George Boole, người đã đặt nền móng cho đại số logic. Ý tưởng dùng hình ảnh minh họa cho các quan hệ tập hợp không hoàn toàn mới, nhưng Venn đã hệ thống hóa việc sử dụng các vòng tròn để biểu diễn tập hợp, giúp các khái niệm trừu tượng trở nên trực quan hơn.

Tại sao lại dùng hình tròn mà không phải hình khác? Giới hạn của sơ đồ Venn và vấn đề toán học đằng sau đó

Anh em chắc cũng thấy phần lớn các sơ đồ Venn sử dụng hình tròn vì sự đơn giản và đối xứng của chúng. Với hai hay ba tập hợp, việc dùng các vòng tròn giao nhau là hoàn toàn khả thi và dễ hình tượng. Ví dụ với hai hoặc ba vòng tròn, mọi vùng giao nhau đều có thể được biểu diễn riêng biệt. Tuy nhiên, khi tăng lên bốn tập hợp, vấn đề bắt đầu xuất hiện. Dù anh em có thử bố trí thế nào, vẫn không thể tạo ra một sơ đồ với bốn vòng tròn giao nhau sao cho mọi tổ hợp giao nhau đều được thể hiện đầy đủ. Nói cách khác, thì không thể có vùng chỉ giao giữa hai tập bất kỳ mà không chạm vào tập khác. Đây là lý do tại sao sơ đồ Venn bốn tập không thể vẽ bằng bốn vòng tròn thông thường. John Venn cũng sớm nhận ra giới hạn này. Và điều đó chỉ là khởi đầu cho một loạt các thách thức hình học sau này.


Minh hoạ số vùng (regions) tương ứng với số vòng tròn trong sơ đồ Venn


Lý giải trực quan: mỗi sơ đồ Venn anh em gặp sẽ diễn giải 2 tới 3 hình tròn giao nhau. Với 4 hình tròn, anh em sẽ không thể có được vùng A và C giao nhau hay B và D giao nhau

Tại sao chuyện này lại xảy ra? Thật ra, cấu trúc của sơ đồ Venn tuân theo một quy tắc cơ bản: mỗi tập hợp bổ sung vào sơ đồ sẽ tăng gấp đôi số vùng (regions) để thể hiện tất cả các tổ hợp khả dĩ. Nói đơn giản thì một vòng tròn chia không gian thành hai vùng: bên trong và bên ngoài. Thêm vòng tròn thứ hai tạo ra bốn vùng; vòng tròn thứ ba sẽ thành tám vùng. Mỗi lần thêm một vòng tròn, tương đương với một tập hợp, số vùng cần thiết lại nhân đôi.

Rồi lại đến giới hạn vật lý. Mỗi vòng tròn mới chỉ có thể cắt các vòng tròn trước đó tại hai điểm, dẫn đến số giao điểm tối đa bị giới hạn. Khi đến vòng tròn thứ tư, cần tạo ra 16 vùng nhưng chỉ có thể tạo ra 14 điểm giao nhau – không đủ để đáp ứng yêu cầu. Tổng quát hoá thì mỗi vòng tròn mới phải tạo ra số vùng tăng theo lũy thừa của 2 (2, 4, 8, 16…), nhưng số điểm giao nhau tối đa lại tăng chậm hơn, dẫn đến sự bất khả thi về mặt hình học khi số tập hợp tăng lên.

Giải pháp sáng tạo và những thử thách mới

Không bó tay trước giới hạn của hình tròn, John Venn đề xuất dùng hình ellipse để thay thế. Hai ellipse có thể giao nhau tại bốn điểm thay vì chỉ hai, cho phép mở rộng sơ đồ đến bốn hay thậm chí năm tập hợp. Nguyên nhân là vì đứng dưới góc nhìn đại số, phương trình bậc hai hai tham số có thể cho ra 4 nghiệm khác nhau, còn ở góc nhìn hình học thì ellipse có thể "nghiêng" và "dẹt" theo nhiều hướng, nên hai ellipse bất kỳ có thể cắt nhau tại 0, 2 hoặc 4 điểm tùy vị trí. Đường tròn chỉ là ellipse đặc biệt với hai trục bằng nhau, nên chỉ có thể cắt nhau tại tối đa 2 điểm. Nhờ hình dạng linh hoạt hơn, hai ellipse có thể giao nhau tại 4 điểm trên mặt phẳng. Tuy vậy, từ sáu tập trở lên, hình ellipse cũng thất bại.

Quảng cáo

Ellipse là một giải pháp mà các nhà khoa học tìm ra


4 hình tròn giao nhau chỉ có thể tạo ra 12 điểm giao, trong khi các ellipse nếu biết sắp xếp, chúng có thể tạo ra 14 điểm giao, phù hợp với số vùng với 4 hình

Một số nhà toán học chuyển sang hình dạng "ngoằn ngoèo" hơn hoặc thậm chí không gian ba chiều để giữ đủ số vùng cần thiết, nhưng những cách này đánh đổi sự trực quan vốn là ưu điểm của sơ đồ Venn.

Một bước ngoặt thú vị đến vào năm 1960 khi David W. Henderson, khi ấy còn là sinh viên đại học, phát hiện rằng: một sơ đồ Venn chỉ có thể đạt được tính đối xứng khi số tập hợp là một số nguyên tố – tức chỉ chia hết cho 1 và chính nó, như 2, 3, 5, 7 nhưng không phải 4. Điều này giải thích vì sao sơ đồ Venn với 2 hay 3 vòng tròn thì xoay vẫn giống hệt nhau, nhưng đến bốn hình ellipse thì lại mất đi tính đối xứng ấy.

Ngoài ra, Venn từng cho rằng không thể vẽ sơ đồ năm tập hợp bằng năm ellipse. Nhưng đến năm năm 1975, Branko Grünbaum chứng minh rằng vẫn có thể tạo sơ đồ đối xứng với năm tập hợp – phá tan niềm tin lâu nay rằng điều đó là bất khả. Và đến năm 2004, các nhà toán học từ Đại học South Carolina xác nhận rằng mọi số nguyên tố đều có thể tạo ra sơ đồ Venn đối xứng.

Quảng cáo

Vẻ cuốn hút chưa từng mất đi của sơ đồ Venn

Sơ đồ Venn thường được dùng để kiểm tra tính đúng đắn của các suy luận logic (syllogism) và là công cụ giảng dạy quan trọng trong giáo dục logic từ giữa thế kỷ 20 đến nay. Ngoài ra, từ một công cụ cho logic học, sơ đồ Venn dần trở thành một đối tượng nghiên cứu độc lập của hình học. Sự hạn chế của hình tròn lại mở ra cánh cửa cho hàng loạt câu hỏi mới: hình dạng nào có thể biểu diễn nhiều tập hợp nhất? Làm sao để duy trì tính đối xứng, tính thẩm mỹ mà vẫn đầy đủ logic? Sơ đồ Venn từng bị đánh giá quá cao, nhưng thật khó phủ nhận sức hấp dẫn kỳ lạ của chúng. Ở giao điểm của logic, hình học và trực quan, sơ đồ Venn không chỉ là một công cụ học thuật, mà còn là bằng chứng cho việc những ý tưởng đơn giản cũng có thể dẫn ta đến những chân trời bất ngờ của toán học.


Nguồn: Scientific American

Khóa học Machine Learning cơ bản- Khoa học dữ liệu - AI

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

==***==

Khoá học Quản trị Chiến lược Dành cho Lãnh đạo Doanh nghiệp

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

==***==

Nơi hội tụ Tinh Hoa Tri Thức - Khơi nguồn Sáng tạo

Để tham gia khóa học công nghệ truy cập link: http://thuvien.hocviendaotao.com

Mọi hỗ trợ về công nghệ email: dinhanhtuan68@gmail.com

--- 

Khóa học Hacker và Marketing từ A-Z trên ZALO!

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học Hacker và Marketing từ A-Z trên Facebook!

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa đào tạo Power BI phân tích báo cáo để bán hàng thành công

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Bảo mật và tấn công Website - Hacker mũ trắng

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học ​

KHÓA HỌC LẬP TRÌNH PYTHON TỪ CƠ BẢN ĐẾN CHUYÊN NGHIỆP

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học Lập trình Visual Foxpro 9 - Dành cho nhà quản lý và kế toán

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học hướng dẫn về Moodle chuyên nghiệp và hay

Xây dựng hệ thống đào tạo trực tuyến chuyên nghiệp tốt nhất hiện nay.

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

KHÓA EXCEL CHUYÊN NGHIỆP

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học AutoIt dành cho dân IT và Marketing chuyên nghiệp

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khoá học Word từ cơ bản tới nâng cao, học nhanh, hiểu sâu

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học hướng dẫn sử dụng Powerpoint từ đơn giản đến phức tạp HIỆU QUẢ

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học Thiết kế, quản lý dữ liệu dự án chuyên nghiệp cho doanh nghiệp bằng Bizagi

Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng Power Query trong Excel

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học Lập trình WEB bằng PHP từ cơ bản đến nâng cao

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng TableAU - Chìa khóa thành công!

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng SPSS - Chìa khóa thành công!

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học "Thiết kế bài giảng điện tử", Video, hoạt hình 

kiếm tiền Youtube bằng phần mềm Camtasia Studio

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

Khóa học HƯỚNG DẪN THIẾT KẾ VIDEO CLIP CHO DÂN MARKETING CHUYÊN NGHIỆP

​​​​​

HƯỚNG DẪN THIẾT KẾ QUẢNG CÁO VÀ ĐỒ HỌA CHUYÊN NGHIỆP VỚI CANVA

Hãy tham gia khóa học để trở thành người chuyên nghiệp. Tuyệt HAY!😲👍

 KHÓA HỌC VIDEO- XÂY DỰNG PHẦN MỀM QUẢN LÝ BẰNG MICROSOFT ACCESS

GOOGLE SPREADSHEETS phê không tưởng

Khóa hoc lập trình bằng Python tại đây

Hãy tham gia khóa học để biết mọi thứ

Để tham gia tất cả các bài học, Bạn nhấn vào đây 

Khóa học lập trình cho bé MSWLogo

Nhấn vào đây để bắt đầu học

Khóa học Ba, Mẹ và Bé - Cùng bé lập trình  TUYỆT VỜI

Khóa học sử dụng Adobe Presenter-Tạo bài giảng điện tử

Khóa học vẽ tạo giao diện demo cho website

Để thành thạo Wordpress bạn hãy tham gia khóa học 

Tham gia khóa học tại đây

Khóa học sử dụng Edmodo để dạy và học hiện đại để thành công

Nhấn vào đây để bắt đầu khóa học

==***==

Bảo hiểm nhân thọ - Bảo vệ người trụ cột

Cập nhật công nghệ từ Youtube tại link: congnghe.hocviendaotao.com
Tham gia nhóm Facebook
Để tham gia khóa học công nghệ truy cập link: http://thuvien.hocviendaotao.com
Mọi hỗ trợ về công nghệ email: dinhanhtuan68@gmail.com

Nguồn: Tinh Tế

Share !