Đã có vô số cuộc tranh luận trong lớp học, giảng đường và các diễn đàn trực tuyến xoay quanh câu hỏi liệu 0.999... có bằng 1 hay không. Giáo viên, giảng viên và những người am hiểu toán học trên cõi mạng liên tục khẳng định rằng hai giá trị này là bằng nhau. Những người này đưa ra đủ loại lời giải thích và chứng minh, trong đó có nhiều cách nghe rất hợp lý. Tuy vậy, vẫn còn nhiều người không tin.
Trước hết, chúng ta cần nghĩ về cách biểu diễn các con số. Ở trường, ban đầu là đếm bằng ngón tay, sau đó học ký hiệu chính thức. Ta học cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng phân số hoặc số thập phân. Và chúng ta nhận ra rằng biểu diễn thập phân của một số phân số là vô hạn, chẳng hạn như 1/3. Nhưng các chữ số sau dấu thập phân trong những trường hợp này không hoàn toàn ngẫu nhiên, thay vào đó, chúng bắt đầu lặp lại sau một điểm nhất định: ví dụ, 1/7 = 0.142857142857....
Trong khi đó, các số vô tỉ, như pi (π) hay căn 2, có vô hạn chữ số thập phân mà không có quy luật lặp lại, và chúng không thể biểu diễn dưới dạng phân số. Vì vậy, để biểu diễn chính xác chúng, người ta chọn dùng ký hiệu, bởi vì dạng thập phân chỉ có thể xấp xỉ giá trị thực.
Vậy nên hiểu 0.999... như thế nào? Một số chuyên gia cho rằng có thể bắt đầu từ việc số hữu tỉ 1/3 tương ứng với số thập phân 0.333.... Nhân nó với 3, ta được 0.999.... Lập luận của họ là vì 1/3 × 3 = 1, nên 1 và 0.999... phải là một.
Trước hết, chúng ta cần nghĩ về cách biểu diễn các con số. Ở trường, ban đầu là đếm bằng ngón tay, sau đó học ký hiệu chính thức. Ta học cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng phân số hoặc số thập phân. Và chúng ta nhận ra rằng biểu diễn thập phân của một số phân số là vô hạn, chẳng hạn như 1/3. Nhưng các chữ số sau dấu thập phân trong những trường hợp này không hoàn toàn ngẫu nhiên, thay vào đó, chúng bắt đầu lặp lại sau một điểm nhất định: ví dụ, 1/7 = 0.142857142857....
Trong khi đó, các số vô tỉ, như pi (π) hay căn 2, có vô hạn chữ số thập phân mà không có quy luật lặp lại, và chúng không thể biểu diễn dưới dạng phân số. Vì vậy, để biểu diễn chính xác chúng, người ta chọn dùng ký hiệu, bởi vì dạng thập phân chỉ có thể xấp xỉ giá trị thực.
Vậy nên hiểu 0.999... như thế nào? Một số chuyên gia cho rằng có thể bắt đầu từ việc số hữu tỉ 1/3 tương ứng với số thập phân 0.333.... Nhân nó với 3, ta được 0.999.... Lập luận của họ là vì 1/3 × 3 = 1, nên 1 và 0.999... phải là một.
Ngoài ra còn có một số chứng minh khác cũng cho thấy 0.999... bằng 1. Ví dụ, hãy viết số tuần hoàn này dưới dạng tổng đến chữ số thứ n sau dấu thập phân: 9 × 1/10 9 × 1/100 9 ×1/1000 ... 9 × 1/10^n 1. Khi đó, chúng ta có thể đưa 0.9 ra ngoài vì nó xuất hiện trước mỗi hạng tử.
Ta được: 0,9 × (1 1/10 1/10^2 ... 1/10^n). Có thể viết lại 0,9 thành 1 – 1/10 để có một công thức gọn hơn: (1 – 1/10) × (1 1/10 1/10^2 ... 1/10^n).
Nói cách khác, chúng ta đang có một cấp số nhân, một dạng mà các nhà toán học đã biết cách giải từ hàng trăm năm trước. Trong trường hợp này, kết quả sẽ là: 1 – 1/10^n 1. Và số 0.999...9 (với chữ số 9 kéo dài đến vị trí thứ n) tương ứng với 1 – 0.00...01 (trong đó số 1 nằm ở vị trí thứ n 1). Nếu bây giờ ta xét số đầy đủ 0.999..., với các chữ số 9 lặp lại vô hạn, thì n tiến tới vô cực. Khi đó, hạng tử 1/10^n tiến về 0. Khoảng cách giữa 0.999... và 1 đã bị "đẩy" ra vô hạn.
Ví dụ này chỉ là một trong nhiều chứng minh cho thấy 0.999... bằng 1. Tương tự, ta cũng có thể thấy rằng 0.8999... = 0.9, 0.7999... = 0.8, và cứ như vậy. Ngay cả khi thay đổi hệ số, các quy luật này vẫn đúng. Chẳng hạn, nếu chuyển sang hệ nhị phân, chỉ gồm các số 0 và 1, thì vấn đề tương tự cũng xuất hiện: 0.111... (tương ứng với 1 × 1/2 1 × 1/4 1 × 1/8 ...) cũng bằng 1.
Vì vậy, có vẻ như đã có một "bên thắng cuộc" rõ ràng trong cuộc tranh luận: phe cho rằng 0.999... = 1. Nhưng khoan. Dù toán học là một lĩnh vực mà các mối liên hệ có thể được suy ra một cách chính xác, gần như không có chỗ cho diễn giải, thì vẫn có thể tranh luận về những nền tảng cơ bản.
Ví dụ, người ta có thể đơn giản quy định rằng theo định nghĩa, 0.999... nhỏ hơn 1. Về mặt toán học, kiểu đề xuất này là được phép, nhưng khi xem xét kỹ, bạn sẽ thấy nó dẫn đến những hệ quả khá kỳ lạ.
Chẳng hạn, thông thường, nếu bạn nhìn vào trục số và chọn bất kỳ hai số nào, luôn tồn tại vô hạn số khác nằm giữa chúng. Bạn có thể tính giá trị trung bình của hai số, rồi tiếp tục lấy trung bình giữa giá trị này với một trong hai số ban đầu, và cứ tiếp tục như vậy.
Nhưng nếu giả sử rằng 0.999... nhỏ hơn 1, thì sẽ không còn số nào nằm giữa hai giá trị này nữa. Bạn đã tạo ra một "khe hở" trên trục số. Và khoảng trống đó khiến các phép tính trở nên kỳ lạ. Bởi vì 1/3 2/3 = 1 vẫn đúng trong hệ này, nên tương ứng, 0.333... 0.666... = 1. Mỗi khi thực hiện phép cộng, bạn sẽ phải làm tròn lên nếu kết quả rơi vào khoảng "kỳ lạ" giữa 0.999… và 1. Việc làm tròn này cũng áp dụng cho phép nhân, chẳng hạn 0.999... × 1 = 1, điều này khiến một quy tắc cơ bản của toán học, rằng bất kỳ số nào nhân với 1 đều bằng chính nó, không còn đúng nữa.
Quảng cáo
Ngoài ra còn có những cách tiếp cận khác để loại bỏ sự mơ hồ của 0.999... Chẳng hạn, chúng ta có thể bước vào lĩnh vực giải tích phi chuẩn, nơi cho phép tồn tại các "vô cùng nhỏ", những giá trị nhỏ hơn bất kỳ số thực dương nào.
Sự thay đổi trong khuôn khổ này cho phép phân biệt giữa 1 và 0.999... nếu chúng khác nhau một lượng vô cùng bé. Và điều đó không dẫn đến mâu thuẫn (hoặc ít nhất không nhiều hơn so với giải tích thông thường). Tuy nhiên, cách tiếp cận này phức tạp đến mức phần lớn các nhà toán học không coi đó là một phương án thay thế thực sự.
Vì vậy, đúng là vẫn tồn tại tranh luận về việc 0.999... có bằng 1 hay không. Một mặt, nếu làm việc trong hệ thống số và phép tính quen thuộc với hầu hết chúng ta, thì đẳng thức này chắc chắn là đúng. Nhưng chúng ta vẫn có thể khám phá những phiên bản toán học khác để có câu trả lời khác, miễn là bạn chấp nhận những hệ quả khá kỳ lạ đi kèm.
Theo SA.
Khóa học Machine Learning cơ bản- Khoa học dữ liệu - AI 
==***==
Khoá học Quản trị Chiến lược Dành cho Lãnh đạo Doanh nghiệp
==***==
Nơi hội tụ Tinh Hoa Tri Thức - Khơi nguồn Sáng tạo
Để tham gia khóa học công nghệ truy cập link: http://thuvien.hocviendaotao.com
Mọi hỗ trợ về công nghệ email: dinhanhtuan68@gmail.com
---
Khóa học Hacker và Marketing từ A-Z trên ZALO!
Khóa học Hacker và Marketing từ A-Z trên Facebook!
Bảo mật và tấn công Website - Hacker mũ trắng
KHÓA HỌC LẬP TRÌNH PYTHON TỪ CƠ BẢN ĐẾN CHUYÊN NGHIỆP 
Khóa học Lập trình Visual Foxpro 9 - Dành cho nhà quản lý và kế toán 
Khóa học hướng dẫn về Moodle chuyên nghiệp và hay Xây dựng hệ thống đào tạo trực tuyến chuyên nghiệp tốt nhất hiện nay. 
Khóa học AutoIt dành cho dân IT và Marketing chuyên nghiệp 
Khoá học Word từ cơ bản tới nâng cao, học nhanh, hiểu sâu 
Khóa học hướng dẫn sử dụng Powerpoint từ đơn giản đến phức tạp HIỆU QUẢ 
Khóa học Thiết kế, quản lý dữ liệu dự án chuyên nghiệp cho doanh nghiệp bằng Bizagi 
Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng Power Query trong Excel 
Khóa học Lập trình WEB bằng PHP từ cơ bản đến nâng cao 
Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng SPSS - Chìa khóa thành công!
Khóa học "Thiết kế bài giảng điện tử", Video, hoạt hình kiếm tiền Youtube bằng phần mềm Camtasia Studio 
Khóa học HƯỚNG DẪN THIẾT KẾ VIDEO CLIP CHO DÂN MARKETING CHUYÊN NGHIỆP 
HƯỚNG DẪN THIẾT KẾ QUẢNG CÁO VÀ ĐỒ HỌA CHUYÊN NGHIỆP VỚI CANVA Hãy tham gia khóa học để trở thành người chuyên nghiệp. Tuyệt HAY!😲👍 
GOOGLE SPREADSHEETS phê không tưởng 
Hãy tham gia khóa học để biết mọi thứ
Khóa học Ba, Mẹ và Bé - Cùng bé lập trình TUYỆT VỜI
Khóa học sử dụng Adobe Presenter-Tạo bài giảng điện tử 
Để thành thạo Wordpress bạn hãy tham gia khóa học 
Khóa học sử dụng Edmodo để dạy và học hiện đại để thành công 
==***== Bảo hiểm nhân thọ - Bảo vệ người trụ cột 
Cập nhật công nghệ từ Youtube tại link: congnghe.hocviendaotao.com
Tham gia nhóm Facebook
Để tham gia khóa học công nghệ truy cập link: http://thuvien.hocviendaotao.com
Mọi hỗ trợ về công nghệ email: dinhanhtuan68@gmail.com
Bảo mật và tấn công Website - Hacker mũ trắng
KHÓA HỌC LẬP TRÌNH PYTHON TỪ CƠ BẢN ĐẾN CHUYÊN NGHIỆP
Khóa học AutoIt dành cho dân IT và Marketing chuyên nghiệp
Khoá học Word từ cơ bản tới nâng cao, học nhanh, hiểu sâu
Khóa học hướng dẫn sử dụng Powerpoint từ đơn giản đến phức tạp HIỆU QUẢ
Khóa học Thiết kế, quản lý dữ liệu dự án chuyên nghiệp cho doanh nghiệp bằng Bizagi
Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng Power Query trong Excel
Khóa học Lập trình WEB bằng PHP từ cơ bản đến nâng cao
Khóa học Phân tích dữ liệu sử dụng SPSS - Chìa khóa thành công!
kiếm tiền Youtube bằng phần mềm Camtasia Studio
Khóa học HƯỚNG DẪN THIẾT KẾ VIDEO CLIP CHO DÂN MARKETING CHUYÊN NGHIỆP
HƯỚNG DẪN THIẾT KẾ QUẢNG CÁO VÀ ĐỒ HỌA CHUYÊN NGHIỆP VỚI CANVA
Hãy tham gia khóa học để trở thành người chuyên nghiệp. Tuyệt HAY!😲👍
GOOGLE SPREADSHEETS phê không tưởng
Hãy tham gia khóa học để biết mọi thứ
Khóa học Ba, Mẹ và Bé - Cùng bé lập trình TUYỆT VỜI
Khóa học sử dụng Adobe Presenter-Tạo bài giảng điện tử
Để thành thạo Wordpress bạn hãy tham gia khóa học
Khóa học sử dụng Edmodo để dạy và học hiện đại để thành công
==***==
Bảo hiểm nhân thọ - Bảo vệ người trụ cột
Tham gia nhóm Facebook
Để tham gia khóa học công nghệ truy cập link: http://thuvien.hocviendaotao.com
Mọi hỗ trợ về công nghệ email: dinhanhtuan68@gmail.com
Nguồn: Tinh Tế
Topics: Công nghệ mới
